1 相关分析
1.1 基本概念图解
1.2 使用相关分析的目的
当我们想要了解两个(或多个)连续变量之间的关系模式(正相关、负相关、非线性相关、或不相关)及相关强度时，我们经常会使用 相关分析。
1.3 相关分析SPSS操作与报表解读
1.3.1 数据准备 (TCS2015sc_Ch11.sav)
首先，启动SPSS软件，进入主界面。导入包含因变量和自变量的数据档案（本例：TCS2015sc_Ch11.sav）。
1.3.2 执行SPSS相关分析
在SPSS中，选择 Analyze -> Correlate -> Bivariate。 如 Figure 2 所示：
在弹出的 Bivariate Correlaitons窗口， 将两个数字变量：H4.5（请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络）与 smuse_hour_day (每天使用社交媒体的时间-小时数)，自左边的变量方框，移到右边的 Variables 方框内。继续点选 Options 按钮。 如 Figure 3 所示：
在弹出的 Bivariate Correlaitons: Options 窗口中， 点选 Means and standard deviations， 然后点选 Continue 按钮。 如 Figure 4 所示：
回到 Bivariate Correlations 窗口， 接着点选 Confidence Interval 按钮。 如 Figure 5 所示：
在弹出的 Bivariate Correlations: Confidence Interval 窗口中，点选 Estimate confidence interval of bivariate correlation parameter，然后按 Continue。 如 Figure 6 所示：
最后，回到 Bivariate Correlations 窗口，点选 OK 按钮，执行相关分析。 如 Figure 7 所示：
1.3.3 双变量相关分析SPSS报表解读
在SPSS输出视窗中，查看相关分析结果报表。
1.3.3.1 Descriptive statistics报表
会呈现两个变量的平均数(Mean)、标准差(Std. Deviation)、以及样本数(N)。 如 Figure 8 所示：
1.3.3.2 Correlation报表
会呈现两个变量的皮尔森积差相关系数(Pearson Correlation)、显著性检验值(Sig. (2-tailed))、以及样本数(N)。 如 Figure 9 所示：
Correlations 报表显示， 两个变量彼此之间的相关系数(Pearson Correlation)=0.062，Sig值(即P值)＝0.025 < 0.05，代表两变量之间的相关系数，如果推论到总体，有达到统计上的显著差异(看左下角或右上角即可)。
1.3.3.3 Confidence Intervals 报表
会呈现两个变量的相关系数的置信区间(CI Lower Bound与CI Upper Bound)。 如 Figure 10 所示：
Confidence Intervals 报表显示， 此一相关系数(Pearson Correlation)，如果推论到总体，总体的相关系数会有95％的概率落在[0.008~0.116]这个置信区间（confidence interval）内。此一区间不包括0，所以总体的相关系数不太可能会等于0，有达到统计上的显著差异。
1.3.4 多变量相关分析
依照同样的操作程序，我们可以把 H4.1~H4.5这五个变量放到 Bivariate Correlations 方框内，然后按 OK。观察一下这五个变量彼此之间的关系。 如 Figure 11 所示：
一样会出现：
1.3.4.1 Descriptive Statistics 报表
呈现五个变量的平均数、标准差和样本数。 如 Figure 12 所示：
1.3.4.2 Correlation 报表
Correlations报表显示， 就 H4.1 而论，
H4.1(对报纸报道新闻的评价)与H4.4(对电视报道新闻的评价)的相关系数最高(\(Pearson Correlation=0.559\)），有达到统计上的显著差异(\(P< 0.001\))。其次是H4.3广播媒体(0.398）、再其次是H4.2杂志媒体(0.338)，相关度最低的是H4.5网络媒体(0.303)。这些相关系数都有达到统计上的显著差异(\(P< 0.001\))。
其他变量之间的相关，可依此类推。这五个变量之间的相关系数，彼此之间都有达到统计上的显著差异(看左下角或右上角即可)。 如 Figure 13 所示：
2 单变量线性回归
2.1 基本概念图解
2.2 使用回归分析的目的
当我们想要去解释或预测某个现象(因变量)时，我们经常会使用回归分析，最常用的是 线性回归分析 (linear regression analysis)。线性回归分析的主要目的是要了解一个或多个自变量 (independent variable, iv) 对于因变量 (dependent variable, dv) 的解释力 (explanatory power)，以及预测力 (predictive power)，假设自变量与因变量之间系呈现一种线性关系。当自变量只有一个时，称为单变量(简单)线性回归；当自变量有二个或二个以上时，称为多变量线性回归。
2.3 数据准备 (TCS2015sc_Ch11_NoDummy.sav)
启动SPSS软件，进入主界面。导入包含因变量和自变量的数据档案（本例：TCS2015sc_Ch11_NoDummy.sav）。
2.4 SPSS操作：因变量(连续变量)~自变量(连续变量)
选择一个连续因变量： 例如：H4.5(请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络)； 也选择一个连续自变量， 例如： smuse_hour_day(每天使用社交媒体的时间-小时数)。
在SPSS中，选择
Analyze -> Regression -> Linear 如 Figure 15 所示：
在弹出的 Linear Regression 窗口， 将 H4.5(请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络)移到右边的 Dependent方框内； 将 smuse_hour_day(每天使用社交媒体的时间-小时数)，移到右边的 Block 1 of 1 方框内。 继续点选Statistics按钮。 如 Figure 16 所示：
在弹出的 Linear Regression: Statistics窗口， 分别点选 Estimates, Confidence intervals，Model fit, 以及 Descriptive，然后按 Continue 。 如 Figure 17 所示：
回到 Linear Regression 窗口，点选 OK 如 Figure 18 所示：
在SPSS输出视窗中，查看相关分析结果报表。
2.4.1 Descriptive statistics报表
Descriptive statistics报表分别呈现因变量与自变量的平均数(Mean)、标准差(Std. Deviation)与样本数(N)。 如 Figure 19 所示：
2.4.2 Correlations报表
Correlations报表呈现两变量之间的相关系数＝0.062,表示两变量之间有一定的相关(虽然相关系数很小)， 且此一相关系数有达到统计上的显著差异(\(Sig.=0.012 < 0.05\))。 如 Figure 20 所示：
2.4.3 ANOVA 报表
ANOVA报表显示，\(F＝5.045，Sig.= 0.025 < 0.05\)，表示自变量 smuse_hour_day 对于因变量H4.5，有一定程度的解释力。 如 Figure 21 所示：
2.4.4 Model Summary报表
Model Summary报表显示，自变量 smuse_hour_day 对于因变量 H4.5 的总体解释力＝0.004=0.4%(看R Square)，解释力很小。 R Square的值介于0~1之间，数值愈大，解释力愈强。 如 Figure 22 所示：
Important
\(R^2\)(读音：R Square)，代表：因变量\(Y\)的总变异量，被回归模型所解释的比例，如 Figure 23 所示(右图)，
\(R^2\)概念图解
2.4.5 Coefficients报表
Coefficients报表可以显示自变量smuse_hour_day对于因变量H4.5的个别影响力。 如 Figure 24 所示：
- 自变量的未标准化beta(Unstandardized Coefficients B)
Important
\(\beta\)(读音：\(beta\))，代表：自变量\(X\)每增加一个单位，因变量的预测平均数\(E(Y)\)所改变的量，如 Figure 25 所示(右图)。
\(\beta\)概念图解
本例，自变量 smuse_hour_day 对于因变量 H4.5 的未标准化beta＝0.601，代表：民众每天使用社交媒体的时间(smuse_hour_day)每增加1小时，对于网络媒体新闻报道的评价(H4.5)，平均来说，会增加0.601分。 此一个别影响力，经统计检验以及\(P\)值检验法得知，已达到统计上的显著差异(\(t=2.246, Sig.=0.025 < 0.05\)）。 透过置信区间法(Confidence Interval)也可以得知， 如果同时间进行100次抽样调查，则会有95次的未标准化的beta落在\([0.076 ~ 1.126\)]之间，此一区间并未包括0。 即此一个别影响力，如果推论回总体，在95%置信水平下，其数值等于0的概率很低。
- 常数项(Constant)，又称：截距(Intercept)
Important
意指： 当模型内所有自变量\(X_i\)都等于0时，因变量\(Y\)的预测平均数所在位置。
本例，Constant＝60.068，代表： “当每天使用社交媒体的时间为0小时（即都不使用社交媒体），民众对于网络媒体报道新闻的评价的平均数＝60.068”。
此一常数项，经统计检验以及\(P\)值检验法得知，已达到统计上的显著差异(\(t=90.904, Sig.=0.000 < 0.05\)）。 透过置信区间法(Confidence Interval)也可以得知， 如果同时间进行100次抽样调查，则会有95次的未标准化beta落在\([58.77 ~ 61.36]\)之间，此一区间并未包括0。 即此一常数项，如果推论回总体，在95%置信水平下，其数值等于0的概率很低(常数项不太可能为0)。
2.4.6 线性回归方程式(Regression Equation)
单变量线性回归方程式的基本形式为：
Important
\[ E(Y) = a + bX \]
其中，
\(E(Y)\)：代表因变量Y的预测平均数；
\(a\)：代表常数项(Constant)；
\(b\)：代表自变量X的未标准化beta；
\(X\)：代表自变量X。
例如：根据Coefficients报表(Figure 24 )， 我们得到：
\(a\)：60.068
\(b\)：0.601
\(X\)：smuse_hour_day
因此，本例的线性回归方程式：
\[ E(Y) = 60.068 + 0.601X \]
其中，
\(E(Y)\)：代表因变量H4.5(请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络)的预测平均数。
\(X\)：代表自变量smuse_hour_day(每天使用社交媒体的时间-小时数)。
通过此一线性回归方程式，我们可以预测不同使用社交媒体时间的民众，对于网络媒体新闻报道的评价平均数。
例如：假设有一群人每天使用社交媒体的时间为5小时(X=5)，则我们可以预测这群人对网络媒体新闻报道的评价平均数为：
\[ E(Y) = 60.068 + 0.601\times(5) = 63.073 \]
也就是说，假设有一群人每天使用社交媒体的时间为5小时，则我们可以预测这群人对网络媒体新闻报道的评价平均数约为63.073分。
2.4.7 线性回归图的SPSS操作
在SPSS视窗中，选择： Graphs -> Legacy Dialogs ->Scatter/Dot。 如 Figure 26 所示
在弹出的 Scatter/Dot 窗口，选择 Simple Scatter，然后按 Define 按钮。 如 Figure 27 所示：
在弹出的 Simple Scatterplot 窗口， 将 H4.5(请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络)移到右边的 Y Axis方框内； 将 smuse_hour_day(每天使用社交媒体的时间-小时数)，移到右边的 X Axis 方框内。 然后按 OK 按钮。 如 Figure 28 所示：
在SPSS输出视窗中，查看散布图(图形)，并用鼠标左键双击散布图。 如 Figure 29 所示：
在弹出的 Chart Editor 窗口，将鼠标移到快捷图标 并停留一下子，会出现 Add Fit Line at Total字样， 点下去。 如 Figure 30 所示：
在弹出的 Properties 窗口。 在 Fit Method 处，SPSS默认呈现 Linear， 这是我们要的，继续点击 Close按钮。 如 Figure 31 所示：
回到 Chart Editor窗口， 此时会出现 回归线、回归方程式以及\(R^2\)值。 如 Figure 32 所示：
最后，关闭 Chart Editor 窗口， 在图形范围外，用鼠标左键随意再点一下，一个散布图＋回归线的图，就会出现在你的 Output 窗口了。
2.5 SPSS操作：因变量(连续变量) ~自变量(类别因子变量)
选择一个连续因变量：例如： H4.5(请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络)； 也选择一个类别因子自变量， 例如： age5(年龄五分类)。
2.5.1 制造虚拟变量(哑变量)(Dummy Variable)
類別自变量在投入回归分析时，不能直接投入，必须先将类别变量转换为虚拟变量(哑变量)。以 age5变量为例，有五类，所以我们将 “类别”转换为”变量”，制造五个虚拟变量。 如 Table 1 所示：
在SPSS中，要如何制作这些虚拟变量呢？
打开SPSS，在视窗中，选择： Transform -> Create Dummy Variables 如 Figure 33 所示：
在弹出的 Create Dummy Variables 窗口， 将 age5(年龄五分类)移到右边的 Create Dummy Variables for方框内； 在 Main Effect Dummy Variables 项目下的 Root Names 方框，填入分析的自变量(类别因子变量) age5； 然后按 OK 按钮。 如 Figure 34 所示：
此时，SPSS会自动在数据视窗(Data View)中，制造出五个虚拟变量(Dummy Variables)，分别为： age5_1(label:age5=18-29)、 age5_2(label:age5=30-39)、 age5_3(label:age5=40-49)、 age5_4(label:age5=50-59)、以及 age5_5(label:age5=60及以上) 如 Figure 35 所示：
2.5.2 执行线性回归分析
虚拟变量制造成功后，就可以继续进行线性回归分析。 但要注意的是，在自变量部分，我们只能选择其中的k-1个虚拟变量进入回归模型(其中k为类别因子变量的类别数)， 例如：age5变量有5类(5个水平)，先前已将age5变量制造成五个虚拟变量，在执行回归分析时，我们只能放进5-1(=4)个虚拟变量进入回归模型，没有放进的那一类，称为参照组(reference group)，会自动被SPSS当作基准组(baseline group)。
我们通常将第1类或最后1类作为参照组(baseline group)，本例，我们将age5_5(label:age5=60及以上)作为参照组(baseline group)，不放进回归模型中。
另外，要选择一个连续因变量。本例，仍选择：H4.5(请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络)。
SPSS操作步骤如下：
Analyze -> Regression -> Linear 如 Figure 36 所示：
在弹出的 Linear Regression 窗口， 将 H4.5(请你就下列媒体新闻报道的整体表现给一个分数-网络)移到右边的 Dependent方框内； 将 四个虚拟变量： age5_1(label:age5=18-29)、 age5_2(label:age5=30-39)、 age5_3(label:age5=40-49)、以及 age5_4(label:age5=50-59)， 移到右边的 Block 1 of 1 方框内。 继续点选Statistics按钮。 如 Figure 37 所示：
Statistics的设置，同前。 如 Figure 38 所示：
回到 Linear Regression 窗口，点选 OK 如 Figure 39 所示：
在SPSS输出视窗中，查看回归分析结果报表。
2.5.3 Descriptive statistics报表
Descriptive statistics报表，我们只要看因变量的平均数(Mean)、标准差(Std. Deviation)与样本数(N)即可。 如 Figure 40 所示：
2.5.4 ANOVA 报表
ANOVA报表显示，\(F＝10.119，Sig. < 0.001\)，表示4个虚拟自变量 age5_1, age5_2, age5_3,age5_4 对于因变量H4.5， 有一定程度的解释力。如 Figure 41 所示：
2.5.5 Model Summary报表
Model Summary报表显示，4个虚拟自变量 age5_1, age5_2, age5_3,age5_4 对于因变量 H4.5 的总体解释力＝0.027=2.7%(看R Square)，虽有解释力，但解释力不高。 如 Figure 42 所示：
2.5.6 Coefficients报表
Coefficients报表可以显示四个虚拟自变量 age5_1, age5_2, age5_3,age5_4 对于因变量H4.5的个别影响力。 如 Figure 43 所示：
当自变量为类别变量时，其回归系数(coefficient)的意涵是：
Important
该自变量X相较于参照类，在因变量的预测平均数，所改变的量。
具体来说：
18-29对应的未标准化beta(Unstandardized B)＝ 8.388， 这表示：就调查样本来说，18-29岁民众相较于60及以上民众(参照类)，对于网络媒体报道新闻的评价分数，平均来说，高了 8.388分。(\(Sig. < 0.001\)，95%CI ＝\([+4.685 ~ +12.091]\)之间，不包括0)。 这个意思是说，如果推论回总体，则18-29岁民众对于网络媒体报道新闻的评价，有很大的概率不会等于0，且其和60岁及以上民众对于网络媒体报道新闻的评价相较，两者之间有显著的差异。
30-39对应的未标准化beta(Unstandardized B)＝ 9.072， 这表示：就调查样本来说，30-39岁民众相较于60及以上民众(参照类)，对于网络媒体报道新闻的评价分数，平均来说，高了 9.072分。(\(Sig.< 0.001\)，95%CI ＝\([ +5.374 ~ +12.769]\)之间，不包括0。 这个意思是说，如果推论回总体，则30-39岁民众对于网络媒体报道新闻的评价，有很大的概率不会等于0，且其和60岁及以上民众对于网络媒体报道新闻的评价相较，两者之间有显著的差异。
40-49对应的未标准化beta(Unstandardized B)＝ 4.090， 这表示：就调查样本来说，40-49岁民众相较于60及以上民众(参照类)，对于网络媒体报道新闻的评价分数，平均来说，高了 4.090分。(\(Sig.= 0.034<0.05\)，95%CI ＝\([ +0.310 ~ +7.869]\)之间，不包括0。 这个意思是说，如果推论回总体，则40-49岁民众对于网络媒体报道新闻的评价，有很大的概率不会等于0，且其和60岁及以上民众对于网络媒体报道新闻的评价相较，两者之间有显著的差异。
50-59对应的未标准化beta(Unstandardized B)＝ 3.341， 这表示：就调查样本来说，50-59岁民众相较于60及以上民众(参照类)，对于网络媒体报道新闻的评价分数，平均来说，高了 3.341分。(但\(Sig.= 0.099 > 0.05\)，95%CI ＝\([ -0.623 ~ +7.306]\)之间，有包括0。这个意思是说，如果推论回总体，则50-59岁民众对于网络媒体报道新闻的评价，有不小的概率会等于0，且其和60岁及以上民众对于网络媒体报道新闻的评价相较，两者之间没有显著的差异。
2.5.7 模型预测
依据 Figure 43 不同年龄层对于Y(网络媒体报道新闻的评价)的\(\beta(beta)\)系数，我们可以计算不同年齡层对于Y的预测平均数，计算如下：
\[ E(Y) = a + bX \]
\[ E(Y) = a + b_{1829} \times age5_{1829}+ b_{3039} \times age5_{3039}+ b_{4049} \times age5_{4049}+b_{5059} \times age5_{5059} \\ \]
就18-29来说，其对于Y的预测平均数：
\[ E(Y) = 54.208 + 8.388 \times 1 + 9.072 \times 0 + 4.090 \times 0 + 3.341 \times 0 \\ =54.208 + 8.388 \\ =62.596 \]
就30-39来说，其对于Y的预测平均数：
\[ E(Y) = 54.208 + 8.388 \times 0 + 9.072 \times 1 + 4.090 \times 0 + 3.341 \times 0 \\ =54.208 + 9.072 \\ =63.28 \]
就40-49来说，其对于Y的预测平均数：
\[ E(Y) = 54.208 + 8.388 \times 0 + 9.072 \times 0 + 4.090 \times 1 + 3.341 \times 0 \\ =54.208 + 4.090 \\ =58.298 \]
就50-59来说，其对于Y的预测平均数：
\[ E(Y) = 54.208 + 8.388 \times 0 + 9.072 \times 0 + 4.090 \times 0 + 3.341 \times 1 \\ =54.208 + 3.341 \\ =57.549 \]
就60及以上来说，其对于Y的预测平均数：
\[ E(Y) = 54.208 + 8.388 \times 0 + 9.072 \times 0 + 4.090 \times 0 + 3.341 \times 0 \\ =54.208 + 0 \\ =54.208 \]
如 Figure 45 所示(R绘图)：
SPSS操作视频
附记
阅读本讲义，另请参阅：王 & 郭 (2022, pp. 224–226, 231–233)
王晓华., & 郭良文. (2022). 传播学研究方法. 高等教育出版社.
样本统计量计算公式(参考)
相关系数(Pearson Correlation Coefficient)
[理论公式]：
\[ \begin{align} r = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \end{align} \]
\(Cov(X,Y)\): \(X\) 与 \(Y\) 的协方差(共变数)(covariance)
\(\sigma_X\)：\(X\) 的标准差
\(\sigma_Y\)：\(Y\) 的标准差
\(\sigma_X \cdot \sigma_Y\)：\(X\) 与 \(Y\) 的标准差乘积
[计算公式]：
\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}} \]
\(n\): 样本大小
\(X_i\): 第 \(i\) 个观测值在变量 \(X\) 的数值
\(\bar{X}\)：变量 \(X\)的 平均数
\(Y_i\): 第 \(i\) 个观测值在变量 \(Y\) 的数值
\(\bar{Y}\)：变量 \(Y\)的 平均数
\((X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})\): 第 \(i\) 个观测值在\(X\)变量的数值减去\(X\)的平均数，与 该观察值在\(Y\)变量的数值减去\(Y\)的平均数， 两者之乘积(会得到一个面积)
\(\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})\)： 所有观测值的乘积面积总和
\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}\)：\(X\) 的标准差
\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}\)：\(Y\) 的标准差
\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2}\)：\(X\) 与 \(Y\)的标准差乘积
以 Figure 13 中，H4.1与H4.4变量为例，两变量之间的相关系数 \(Pearson's\) \(r\)＝0.559
计算方法如下(使用 R )：
载入数据档
1.排除变量的缺失值(只限定在H4.1与H4.4变量皆有值的样本)
- 计算x, y变量各自的平均数
- 计算分子：协方差(共变数)
- 计算分母：标准差乘积
- \(Pearson's\) \(r\) 相关系数
[1] 0.5532841相关系数 r = 0.5532841 与前述相关系数0.559相同ANOVA 报表中，
F value
F检验统计量的计算公式：
\[ \begin{align} F &= \frac{SSR/df_{regression}} {SSE/df_{residual}}=\frac{MSR}{MSE}\\ \end{align} \]
- SSR(Sum of Squares Regression 回归平方和)：回归模型所 能解释的变异。
计算公式如下：
\[ SSR = \sum_{i=1}^{n} (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2 \]
内涵：回归模型预测值相对于总体均值所能解释的变异程度
其中：
\(\hat{Y}_i\)：自变量\(X\)在第i个数值时对于因变量\(Y\)的预测平均数
\(\bar{Y}\)：因变量\(Y\)的平均数
- SSE(Sum of Square Error 误差平方和)：回归模型无法 解释的变异
计算公式如下：
\[ SSE = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{Y}_i)^2 \] 其中：
\(Y_i\)：因变量\(Y\)在自变量第i个观测值的数值
\(\hat{Y}_i\)：自变量\(X\)在第i个数值时对于因变量\(Y\)的预测平均数
- 自由度(degree of freedom, df):
分为两部分： 回归模型的自由度(\(df_{regresion}\))与残差的自由度(\(df_{residual}\))
\(df_{regresion}\)：，其值等于自变量个数(K)，即：
\[ df_{regresion}= k \]
\(df_{residual}\)：残差的自由度，其值等于样本数(n)减去自变量个数(K)再减去1，即：
\[ df_{residual}= n - k - 1 \]
- SST(Sum of Square Total 总平方和)：
\[ SST = SSR + SSE = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2 \]
以 Figure 21 中ANOVA报表的单变量线性回归分析为例，\(F=5.045\)，计算方法如下:
1.计算SSR(回归平方和)
\[ SSR = 1617.243 \]
2.计算SSE(误差平方和)
\[ SSE = 414442.716 \]
3.计算自由度
\[ df_{regresion}= k = 1 \]
\[ \begin{align} df_{residual}&= n - k - 1 \\ &= 1295 - 1 - 1 \\ &= 1293 \end{align} \]
4.计算MSR与MSE
\[ MSR = 1617.243 / 1 = 1617.243 \]
\[ MSE = 414442.716 / 1293 = 320.550 \]
5.计算F检验统计量
\[ F = 1617.243 / 320.550 = 5.045 \]
当 \(F=5.045\) 时，查阅 \(F\) 分配表(或使用统计软件)，可得 \(P\) 值为 2.49% = 0.0249 = 0.025 < 0.05， 如 Figure 46 所示，
因此， smuse_hour_day 对于因变量 H4.5 有显著的解释力。
决定系数(R Square)
决定系数(\(R^2\))的计算公式：
\[ \begin{align} R^2 = \frac{SSR}{SST} \end{align} \]
以 Figure 22 中的 \(R^2\) 报表为例，\(R^2＝0.004\)， 计算方法如下:
\[ \begin{align} R^2 &= \frac{SSR}{SST}\\ &= \frac{1617.243}{416059.959} \\ &= 0.003887 \approx 0.004 \end{align} \]
线性回归系数(beta)
自变量 \(X\) 对于因变量 \(Y\) 的线性回归系数(\(beta\))，
[理论公式]：
\[ \begin{align} beta = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)} \end{align} \]
\(Cov(X,Y)\): \(X\) 与 \(Y\) 的协方差(共变数)(covariance)
\(Var(X)\)：\(X\) 的方差(变异数)(variance)
[计算公式]：
\[ beta = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})} {\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \] \(n\): 样本大小
\(X_i\): 第 \(i\) 个观测值在变量 \(X\) 的数值
\(\bar{X}\)：变量 \(X\)的 平均数
\(Y_i\): 第 \(i\) 个观测值在变量 \(Y\) 的数值
\(\bar{Y}\)：变量 \(Y\)的 平均数
\((X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})\): 第 \(i\) 个观测值在\(X\)变量的数值减去\(X\)的平均数，与该观察值在\(Y\)变量的数值减去\(Y\)的平均数， 两者之乘积(会得到一个面积)
\(\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})\)： 所有观测值的乘积面积总和
\(\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2\)：\(X\)的方差(变异数)(variance)
以 mydata数据档中的 smuse_hour_day 与 H4.5 变量为例， 使用 smuse_hour_day变量预测 H4.5 变量， 在未加权情况下，smuse_hour_day变量的线性回归系数 \(beta\)＝0.5308
Call:
lm(formula = mydata$H4.5 ~ mydata$smuse_hour_day)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-61.699 -10.372 -0.505 9.812 39.628
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 60.1066 0.6650 90.383 <2e-16 ***
mydata$smuse_hour_day 0.5308 0.2796 1.899 0.0578 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 17.88 on 1258 degrees of freedom
(因為不存在，742 個觀察量被刪除了)
Multiple R-squared: 0.002857, Adjusted R-squared: 0.002065
F-statistic: 3.605 on 1 and 1258 DF, p-value: 0.05784计算方法如下(使用 R )：
1.排除变量的缺失值(只限定变量皆有值的样本)
- 计算x, y变量各自的平均数
- 计算分子：协方差(共变数)
- 计算分母：x的方差(变异数)
- \(beta\) 回归系数
线性回归系数(beta)的 SE
SE(Standard Error)标准误的公式为：
\[ SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{ \frac{MSE}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} } \]
其中：
残差均方和：
\[ MSE = \frac{SSE}{n-2} \]
残差平方和：
\[ SSE = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{Y}_i)^2 \]
因此：
\[ SE(\hat{\beta}_1) =\sqrt{ \frac{SSE}{(n-2)\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} } \]
以 Figure 24 中的 \(Std.Error(beta)=0.267\) 为例，计算方法如下:
1.计算SSE(误差平方和)
如：Figure 21 中 ANOVA报表所示的 SSE(Sum of Square Error)
\[ SSE = 414442.716 \]
2.计算样本数减去2
样本数为1295, 因此：
\[ n - 2 = 1295 - 2 = 1293 \]
3.计算分母
\[ \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = 1295.248 \]
4.计算SE(beta)
\[ \begin{align} SE(\hat{\beta}_1) &= \sqrt{ \frac{SSE}{(n-2)\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} } \\ &= \sqrt{ \frac{414442.716}{1293 \times 1295.248} } \\ &= \sqrt{0.07129} \\ &= 0.267 \end{align} \]
线性回归系数(beta)对应的 t
线性回归系数(\(beta\))对应的t检验统计量，计算公式如下：
\[ t = \frac{\hat{\beta} - \beta_0}{SE(\hat{\beta})} \]
其中：
\(\hat{\beta}\)：估计的回归系数
\(\beta_0\)：原假设下的系数值（通常为 0）
\(SE(\hat{\beta})\)：回归系数的标准误
Figure 24 中 \(t = 2.246\)，计算方法如下:
\(\hat{\beta} = 0.601\),
\(SE(\hat{\beta}) = 0.267\),
\(\beta_0 = 0\)
所以t值等于:
\[ \begin{align} t & = \frac{0.601 - 0}{0.267} \\ &= \frac{0.601}{0.267} \approx 2.25 \\ \end{align} \]
线性回归系数(beta)对应的 P
Figure 24 中，\(beta=0.601，t=2.246，df=n-2=1295-2=1293\), 查阅t分配表(或使用统计软件)，可得 \(P\)= 2.5% = 0.025$ ，如 Figure 47 所示 (1.24% + 1.24% = 2.48% ≈ 2.5%)
线性回归系数(beta)的95% CI
Figure 24 中，\(beta=0.601\)，\(SE(beta)=0.267\), 95% CI ＝\([0.076 ~ 1.126]\)之间，不包括0。
beta 的95% CI 计算公式如下:
\(beta \pm t_{(α/2, n-2)} \times SE(beta)\)
其中： \(t_{(α/2, n-2)}\)：t分配临界值(双尾)
\(α＝0.05\)，\(α/2=0.025\),
n-2＝1295-2＝1293(自由度df＝1293)。
查阅t分配表(或使用统计软件)，可得 \(t_{(0.025, 1293)}＝1.96\) 如 Figure 48 所示：
代入数值： \(beta=0.601, t=1.96, SE(beta)=0.267\) 得到 \(beta\) 的 95% CI: \([0.07, 1.12]\)
\[ \begin{align} &beta \pm t_{(α/2, n-2)} \times SE(beta) \\ &= 0.601 \pm 1.96 \times 0.267 \\ &= 0.601 \pm 0.52332 \\ &= [0.07768 ~ 1.12432] \approx [0.07 ~ 1.12] \\ \end{align} \]